hyperboliques
Systèmes dynamiques hyperboliques

En Systèmes Dynamiques, ma formation , mon  esthétique géométrique  et la gentillesse de Rémi Langevin m'ont naturellement amené à l'étude des systèmes hyperboliques. Nous avons cherché à en donner une classification topologique:

Tout  problème de classification se décompose en trois:

  1. Donner une présentation finie des objets étudiés.
  2. Donner un critère ou à defaut un algorithme permettant de décider quelles présentations finies correspondent au même objet.
  3. Dire quelles présentations finies abstraites correspondent  effectivement à un objet.
 
Difféomorphismes de Smale des surfaces compactes
Avec R.Langevin, j'ai donné une présentation finie des difféomorphismes des surfaces compactes,  verifiant l'axiome A et la transversalité forte (= résolution du premier problème de classification).
Ce résultat englobe toute une famille de résultats antérieurs partiels d'une école russe autour de Aranson et Grines.

Avec E. Jeandenans j'ai caractérisé les présentations finies correspondant à des difféomorphismes des surfaces (=résolution du troisième problème).
Ces résultats font l'objet de l'Astérisque 250 ( voir  22 )

Fr.Beguin, a achevé la classification des difféomorphismes hyperboliques des surfaces en fournissant un algorithme fini permettant de décider quand deux présentations finies correspondent au même difféomorphisme (résolution du second problème).

Flots de Smale des variétés de dimension 3

Avec Fr. Beguin je poursuis ces recherches en étudiant les flots hyperboliques des variétés de dimension 3. Cette recherche joint aux difficultés des difféomorphismes des surfaces des difficultés spécifiques dues à la topologie des variétés de dimension 3.
Nous avons montré comment donner une présentation finie des champs de vecteurs structurellement stables des variétés de dimension 3. Nous avons montré que toute les présentations finies correspondent à des flots (= premier et troisième problème de classification) voir 25 et 28.

Le second problème("décider quand deux présentations finies correspondent au même flot)" semble être beaucoup plus complexe : dans le cas particulier des flots d'Anosov, de nombreux chercheurs s'y sont attaqué, sans conclure, jusqu'à présent (voir les travaux de T. Barbot et de S. Fenley).  De même, Christy a annoncé depuis plus de 10 ans une classification complète des attracteurs hyperboliques, mais  son travail n'a jamais été écrit.

 

Difféomorphismes de type Morse Smale des variétés de dimension 3
La complexité du problème déjà en dimension 2 et pour les flots en dimension 3 semble dire qu'une classification en dimension 3 est pour l'instant hors de portée... De plus, le dynamiques hyperboliques en dimension 3 n'étant pas denses, on peut se demander quel serait l'enjeu d'une telle entreprise...

Cependant, j'ai été surpris de voir à quel niveau élementaire du point de vue dynamique  arrivaient les  difficultés topologiques: ainsi avec V. Grines nous avons montré que la classification des difféomorphismes Morse Samle dont l'ensemble non-errant est réduit à 4 point fixes (deux répulseurs une selle et un attracteur) est équivalente à la classification des noeuds dans S2x S1, librement homotopes à {0}xS1  (voir 32}. Les techniques ébauchées dans cet article permettent certainement de classifier (à l'aide d'entrelacs dans S2x S1) les difféomorphisme de type Morse-Smale n'ayant qu'un ensemble fini d'orbites hétéroclines : par goût esthétique des techniques,  avec Grines, Medvedev et Pécou, nous allons probablement donner cette classification.