En Systèmes Dynamiques, ma formation , mon esthétique géométrique et la gentillesse de Rémi Langevin m'ont naturellement amené à l'étude des systèmes hyperboliques. Nous avons cherché à en donner une classification topologique:
Tout problème de classification se décompose en trois:
Avec E. Jeandenans j'ai caractérisé les présentations
finies correspondant à des difféomorphismes des surfaces
(=résolution du troisième problème).
Ces résultats font l'objet de l'Astérisque 250 ( voir
22 )
Fr.Beguin, a achevé la classification des difféomorphismes hyperboliques des surfaces en fournissant un algorithme fini permettant de décider quand deux présentations finies correspondent au même difféomorphisme (résolution du second problème).
Avec Fr. Beguin je poursuis ces recherches en étudiant les flots
hyperboliques des variétés de dimension 3. Cette recherche
joint aux difficultés des difféomorphismes des surfaces des
difficultés spécifiques dues à la topologie des variétés
de dimension 3.
Nous avons montré comment donner une présentation finie
des champs de vecteurs structurellement stables des variétés
de dimension 3. Nous avons montré que toute les présentations
finies correspondent à des flots (= premier et troisième
problème de classification) voir 25 et
28.
Le second problème("décider quand deux présentations finies correspondent au même flot)" semble être beaucoup plus complexe : dans le cas particulier des flots d'Anosov, de nombreux chercheurs s'y sont attaqué, sans conclure, jusqu'à présent (voir les travaux de T. Barbot et de S. Fenley). De même, Christy a annoncé depuis plus de 10 ans une classification complète des attracteurs hyperboliques, mais son travail n'a jamais été écrit.
Cependant, j'ai été surpris de voir à quel niveau élementaire du point de vue dynamique arrivaient les difficultés topologiques: ainsi avec V. Grines nous avons montré que la classification des difféomorphismes Morse Samle dont l'ensemble non-errant est réduit à 4 point fixes (deux répulseurs une selle et un attracteur) est équivalente à la classification des noeuds dans S2x S1, librement homotopes à {0}xS1 (voir 32}. Les techniques ébauchées dans cet article permettent certainement de classifier (à l'aide d'entrelacs dans S2x S1) les difféomorphisme de type Morse-Smale n'ayant qu'un ensemble fini d'orbites hétéroclines : par goût esthétique des techniques, avec Grines, Medvedev et Pécou, nous allons probablement donner cette classification.