Systèmes dynamiques hyperboliques

En Systèmes Dynamiques, ma formation , mon  esthétique géométrique  et la gentillesse de Rémi Langevin m'ont d’abord naturellement amené à l'étude des systèmes hyperboliques.

Qu’est-ce qu’un système hyperbolique?

Le système dynamique chaotique le plus simple est la multiplication par 10 (ou par tout entier ≥ 2) sur le cercle. On vérifie facilement qu'il existe des points périodiques de périodes arbitrairement grandes arbitrairement proches de tout point,  et qu'il existe des points dont l'orbite est dense. Par définition toute erreur sur les données initiales est multipliée par 10 à chaque itération : c'est la sensitivité aux conditions initiales. Un théorème quelque peu paradoxal de Shub [Sh1969] dit que toute perturbation de ce système le laisse inchangé : en réécrivant le nouveau système dans une reparamétrisation du cercle, on récupère exactement la multiplication par 10 : on dit que la dynamique est structurellement stable. C'est un modèle jouet mais, en effet, toute dynamique chaotique admet une partie qui se comporte comme une multiplication par 10.

La multiplication par 10 sur le cercle n'est pas inversible : on ne peut pas diviser par 10 sur le cercle.  Si l'on veut un système inversible (où les orbites sont définies dans le passé et dans le futur), les directions en expansion doivent être compensées par des directions de contraction. C'est précisément ce qui se passe lorsqu'on considère l'action sur le tore T²=R²/Z² de l'application linéaire de R² x→2x+y, y→x+y qui a une valeur propre supérieure à 1 et une autre inférieure à 1 (correspondant à une direction en expansion et une direction en contraction).

Il s’agit ici encore d’un modèle jouet, mais il constitue le point de départ de la théorie hyperbolique de Smale dans les années 60.  La principale réussite de cette théorie est que les systèmes hyperboliques (ceux pour lesquels l'espace tangent aux orbites récurrentes est la somme des directions de contraction et d'expansion) sont précisément des systèmes parfaitement chaotiques et structurellement stables (la preuve de ce théorème s’étend des années 60 à la fin des années 90 (Smale [Sm1967], Robbin [Ro1971], Robinson [Ro1976], Mañé [Ma1988], Hayashi [Ha1998]).

Il ne s’agit pas d’objets mathématiques dépourvus de sens : Poincaré et Hadamard (vers 1900) ont en effet étudié un exemple emblématique comme modèle pour le problème des trois corps de la mécanique céleste : le flot géodésique des surfaces hyperboliques. Hadamard exprimait déjà son comportement chaotique avec une formulation moderne : « tout changement, si minime qu’il soit, apporté à la direction initiale d’une géodésique (…) suffit pour amener une variation absolument quelconque dans l’allure finale de la courbe ».

Anosov et Smale ont défini la notion de système hyperbolique en extrayant le principe fondamental derrière le flux géodésique de surfaces hyperboliques. Un système est dit Anosov si la structure de contraction/expansion remplit l’ensemble du collecteur de sorte que la dynamique au voisinage de n’importe quelle orbite se comporte comme dans la figure 1.

Le problème de classification

Avec Langevin avons cherché à donner une classification topologique des systèmes hyperboliques.

Tout  problème de classification se décompose en trois étapes:

-  Donner une présentation finie des objets étudiés.

-  Donner un critère ou à defaut un algorithme permettant de décider quelles présentations finies correspondent au même objet.

 - Dire quelles présentations finies abstraites correspondent  effectivement à un objet.

Difféomorphismes de Smale des surfaces compactes

Avec R.Langevin, j'ai donné une présentation finie des difféomorphismes “hyperboliques”  des surfaces compactes, c-à-d  verifiant l'axiome A et la transversalité forte (= résolution du premier problème de classification). Ce résultat englobe toute une famille de résultats antérieurs partiels d'une école russe autour de Aranson et Grines.

Avec E. Jeandenans j'ai caractérisé les présentations finies correspondant à des difféomorphismes des surfaces (=résolution du troisième problème).

Ces résultats font l'objet de l'Astérisque 250  (référence 32 ci-dessous)

François Beguin a achevé la classification des difféomorphismes hyperboliques des surfaces en fournissant un algorithme fini permettant de décider quand deux présentations finies correspondent au même difféomorphisme (résolution du second problème).

Flots de Smale des variétés de dimension 3

Avec Fr. Beguin j’ai  poursuivi ces recherches en étudiant les flots hyperboliques des variétés de dimension 3. Cette recherche joint aux difficultés des difféomorphismes des surfaces des difficultés spécifiques dues à la topologie des variétés de dimension 3.

Nous avons montré comment donner une présentation finie des champs de vecteurs structurellement stables des variétés de dimension 3 ( sans attracteurs/repulseurs non périodiques). Nous avons montré que toute les présentations finies correspondent à des flots (= premier et troisième problème de classification) voir 27 et 31.

Le second problème("décider quand deux présentations finies correspondent au même flot)" semble être beaucoup plus complexe : dans le cas particulier des flots d'Anosov, de nombreux chercheurs s'y sont attaqué, sans conclure, jusqu'à présent (voir les travaux de T. Barbot et de S. Fenley).  De même, Christy a annoncé depuis plus de 30 ans une classification complète des attracteurs hyperboliques, mais  son travail n'a jamais été écrit.

 Cette question est désormais mon principal défi personnel, car elle associe la dynamique à la topologie des variétés de dimension 3. Voir [ 1,2,3,4,6, 13,14,27,31,34] dans la liste ci-dessous, pour mes travaux sur les flots d’Anosov.

Difféomorphismes de type Morse Smale (= hyperbolique mais non chaotiques) des variétés de dimension 3

La complexité du problème déjà en dimension 2 et pour les flots en dimension 3 semble dire qu'une classification des difféomorphismes hyperboliques  en dimension 3 est pour l'instant hors de portée... De plus, les dynamiques hyperboliques en dimension 3 n'étant pas denses, on peut se demander quel serait l'enjeu d'une telle entreprise...

Cependant, j'ai été surpris de voir à quel niveau élementaire du point de vue dynamique  arrivaient les  difficultés topologiques: ainsi avec V. Grines  nous avons montré en 2000 que la classification des difféomorphismes Morse Smale dont l'ensemble non-errant est réduit à 4 point fixes (deux répulseurs une selle et un attracteur) est équivalente à la classification des noeuds dans S2x S1, librement homotopes à {0}xS1  (voir 30 ci-dessous).

Puis, avec Grines et Pochinka et d’autres collaborateurs comme Laudenbach, nous avons petit à petits considérés des cas de plus en plus généraux dans une série de 15 articles jusqu’à obtenir un invariant de conjugaison complet pour tous les difféomorphismes Morse-Smale (hyperbolique mais non chaotiques) des variétés de dimension 3.

Liste de mes publications en dynamiques hyperboliques

1. 1.Barthelmé, Thomas; Bonatti, Christian; Mann, Kathryn Promoting Prelaminations.  Preprint ArXiv:2406.18917  (2024) 

2. 2.Bonatti, Christian; Iakovoglou, Ioannis Anosov flows on 3-manifolds: the surgeries and the foliations.  Ergodic Theory Dyn. Syst. 43, No. 4, 1129-1188 (2023). 

3. 3.Bonatti, Christian Action on the circle at infinity of foliations of ℝ2    arXiv:2301.04530 (2023) Enseign. Math. (2024), published online first   DOI 10.4171/LEM/1086 

4. 4.Asaoka, Masayuki; Bonatti, Christian; Marty, Théo Oriented Birkhoff sections of Anosov flows. Preprint, arXiv:2212.06483   (2022). 

5. 5.Bonatti, Christian; Pinsky, Tali Lorenz attractors and the modular surface.  Nonlinearity 34, No. 6, 4315-4331 (2021). 

6. 6.Barthelmé, Thomas; Bonatti, Christian; Gogolev, Andrey; Rodriguez Hertz, Federico Anomalous Anosov flows revisited.  Proc. Lond. Math. Soc. (3) 122, No. 1, 93-117 (2021). 

7. 7.Bonatti, Christian; Bowden, Jonathan; Potrie, Rafael Some remarks on projective Anosov flows in hyperbolic 3-manifolds.  Wood, David R. (ed.) et al., 2018 MATRIX annals. Cham: Springer. MATRIX Book Ser. 3, 359-369 (2020). 

8. 8.Bonatti, Christian; Minkov, Stanislav; Okunev, Alexey; Shilin, Ivan Anosov diffeomorphism with a horseshoe that attracts almost any point.  Discrete Contin. Dyn. Syst. 40, No. 1, 441-465 (2020). 

9. 9.Bonatti, C.; Grines, V.; Pochinka, O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds.  Duke Math. J. 168, No. 13, 2507-2558 (2019). 

10. 10.Bonatti, Ch.; Grines, V.; Laudenbach, F.; Pochinka, O.Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds.  Ergodic Theory Dyn. Syst. 39, No. 9, 2403-2432 (2019). 

11. 11.Bonatti, C.; Minkov, S. S.; Okunev, A. V.; Shilin, I. S. A C1Anosov diffeomorphism with a horseshoe that attracts almost any point. Funct. Anal. Appl. 51, No. 2, 144-147 (2017); translation from Funkts. Anal. Prilozh. 51, No. 2, 83-86 (2017). 

12. 12.Bonatti, Ch.; Grines, V. Z.; Pochinka, Olga V. Realization of Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds. Proc. Steklov Inst. Math. 297, 35-49 (2017); translation from Tr. Mat. Inst. Steklova 297, 46-61 (2017). 

13. 13.Béguin, François; Bonatti, Christian; Yu, Bin Building Anosov flows on 3-manifolds.  Geom. Topol. 21, No. 3, 1837-1930 (2017). 

14. 14.Beguin, F.; Bonatti, C.; Yu, B. A spectral-like decomposition for transitive Anosov flows in dimension three.  Math. Z. 282, No. 3-4, 889-912 (2016). 

15. 15.Bonatti, Christian; Guelman, Nancy Axiom A diffeomorphisms derived from Anosov flows.  J. Mod. Dyn. 4, No. 1, 1-63 (2010). 

16. 16.Bonatti, Christian; Guelman, Nancy Transitive Anosov flows and Axiom-A diffeomorphisms. Ergodic Theory Dyn. Syst. 29, No. 3, 817-848 (2009). 

17. 17.Bonatti, C.; Paoluzzi, L. 3-manifolds which are orbit spaces of diffeomorphisms. Topology 47, No. 2, 71-100 (2008). 

18. 18.Bonatti, C.; Grines, V. Z.; Medvedev, V. S.; Pochinka, O. V. Bifurcations of Morse-Smale diffeomorphisms with wildly embedded separatrices.  Proc. Steklov Inst. Math. 256, 47-61 (2007); translation from Tr. Mat. Inst. Steklova 256, 54-69 (2007). 

19. 19.Bonatti, Christian; Grines, Viacheslav; Pochinka, Olga Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with the chain of saddles on 3-manifolds.  Walczak, Paweł (ed.) et al., Foliations 2005. Proceedings of the international conference, University of Łodź, Łodź, Poland, June 13–24, 2005. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 981-270-074-9). 121-147 (2006).  

20. 20.Bonatti, C.; Grines, V. Z.; Pochinka, O. V. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with a finite set of heteroclinic orbits on 3-manifolds.  Proc. Steklov Inst. Math. 250, 1-46 (2005); translation from Tr. Mat. Inst. Steklova 250, 5-53 (2005). 

21. 21.Bonatti, C.; Grines, V.; Pochinka, O. Classification of the simplest non-gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds. J. Math. Sci., New York 126, No. 4, 1267-1296 (2005). 

22. 22.Bonatti, Ch.; Grines, V. Z.; Pochina, O. V. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with finite sets of heteroclinic orbits on 3-manifolds.  Dokl. Math. 69, No. 3, 385-387 (2004); translation from Dokl. Akad. Nauk, Ross. Akad. Nauk 396, No. 4, 439-442 (2004). 

23. 23.Bonatti, C.; Grines, V.; Medvedev, V.; Pécou, E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds.  Topology 43, No. 2, 369-391 (2004). 

24. 24.Bonatti, C.; Grines, V. Z.; Medvedev, V. S.; Pécou, E. On Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections on three-manifolds. Proc. Steklov Inst. Math. 236, 58-69 (2002); translation from Tr. Mat. Inst. Steklova 236, 66-78 (2002). 

25. 25.Bonatti, Christian; Grines, Viatcheslav; Pécou, Elisabeth Two-dimensional links and diffeomorphisms on 3-manifolds.  Ergodic Theory Dyn. Syst. 22, No. 3, 687-710 (2002). 

26. 26.Bonatti, C.; Grines, V.; Medvedev, V.; Pécou, E. Three-manifolds admitting Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves.  Topology Appl. 117, No. 3, 335-344 (2002). 

27. 27.Béguin, F.; Bonatti, C. Flots de Smale en dimension 3: Présentations finies de voisinages invariants d’ensembles selles. Topology 41, No. 1, 119-162 (2002). 

28. 28.Bonatti, C.; Grines, V.; Langevin, R. Dynamical systems in dimension 2 and 3: conjugacy invariants and classification.  Comput. Appl. Math. 20, No. 1-2, 11-50 (2001). 

29. 29.Bonatti, C.; Grines, V. Z.; Medvedev, V. S.; Pecou, E. On the topological classification of gradient-like diffeomorphisms without heteroclinic curves on three-dimensional manifolds. Dokl. Math. 63, No. 2, 161-164 (2001); translation from Dokl. Akad. Nauk, Ross. Akad. Nauk 377, No. 2, 151-155 (2001). 

30. 30.Bonatti, C.; Grines, V. Knots as topological invariants for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3  J. Dyn. Control Syst. 6, No. 4, 579-602 (2000). 

31. 31.Béguin, F.; Bonatti, C.; Vietez, J. L. Construction de flots de Smale en dimension 3. Ann. Fac. Sci. Toulouse, VI. Sér., Math. 8, No. 3, 369-410 (1999). 

32. 32.Bonatti, C.; Langevin, R. [Jeandenans, E.] Difféomorphismes de Smale des surfaces. Avec la collaboration d’Emmanuelle Jeandenans.  Astérisque. 250. , viii, 235 p. (1998). 

33. 33.Bonatti, Christian; Díaz, Lorenzo Justiniano; Viana, Marcelo Discontinuity of the Hausdorff dimension of hyperbolic sets.  C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 320, No. 6, 713-718 (1995). 

34. 34.Bonatti, Christian; Langevin, Remi Un exemple de flot d’Anosov transitif transverse à un tore et non conjugué à une suspension. Ergodic Theory Dyn. Syst. 14, No. 4, 633-643 (1994).